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¿Qué es un número real?

¿Qué es un número real?

¿Qué es un número? Bueno eso depende. Hay una variedad de diferentes tipos de números, cada uno con sus propias propiedades particulares. Un tipo de número, en el que se basan las estadísticas, la probabilidad y gran parte de las matemáticas, se denomina número real.

Para saber qué es un número real, primero haremos un breve recorrido por otros tipos de números.

Tipos de numeros

Primero aprendemos sobre números para contar. Comenzamos haciendo coincidir los números 1, 2 y 3 con nuestros dedos. Luego, y seguimos yendo tan alto como pudimos, lo que probablemente no fue tan alto. Estos números de conteo o números naturales fueron los únicos números que conocíamos.

Más tarde, al tratar con la resta, se introdujeron números enteros negativos. El conjunto de números enteros positivos y negativos se denomina conjunto de enteros. Poco después de esto, se consideraron números racionales, también llamados fracciones. Como cada entero se puede escribir como una fracción con 1 en el denominador, decimos que los enteros forman un subconjunto de los números racionales.

Los antiguos griegos se dieron cuenta de que no todos los números se pueden formar como una fracción. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 no se puede expresar como una fracción. Este tipo de números se llaman números irracionales. Abundan los números irracionales, y algo sorprendente en cierto sentido hay más números irracionales que números racionales. Otros números irracionales incluyen pi y mi.

Expansiones Decimales

Cada número real se puede escribir como un decimal. Diferentes tipos de números reales tienen diferentes tipos de expansiones decimales. La expansión decimal de un número racional está terminando, como 2, 3.25 o 1.2342, o se repite, como .33333 ... O .123123123 ... En contraste con esto, la expansión decimal de un número irracional no es determinante ni repetitiva. Podemos ver esto en la expansión decimal de pi. Hay una cadena interminable de dígitos para pi, y lo que es más, no hay una cadena de dígitos que se repita indefinidamente.

Visualización de números reales

Los números reales se pueden visualizar asociando cada uno de ellos a uno de los infinitos puntos a lo largo de una línea recta. Los números reales tienen un orden, lo que significa que para dos números reales distintos podemos decir que uno es mayor que el otro. Por convención, moverse hacia la izquierda a lo largo de la recta numérica real corresponde a números cada vez menores. Moverse hacia la derecha a lo largo de la recta numérica real corresponde a números cada vez mayores.

Propiedades básicas de los números reales

Los números reales se comportan como otros números con los que estamos acostumbrados a tratar. Podemos sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos (siempre y cuando no dividamos entre cero). El orden de suma y multiplicación no es importante, ya que existe una propiedad conmutativa. Una propiedad distributiva nos dice cómo la multiplicación y la suma interactúan entre sí.

Como se mencionó anteriormente, los números reales poseen un orden. Dados dos números reales X y y, sabemos que uno y solo uno de los siguientes es cierto:

X = y, X < y o X > y.

Otra propiedad: integridad

La propiedad que distingue los números reales de otros conjuntos de números, como los racionales, es una propiedad conocida como integridad. La completitud es un poco técnica para explicar, pero la noción intuitiva es que el conjunto de números racionales tiene lagunas. El conjunto de números reales no tiene huecos, porque está completo.

Como ilustración, veremos la secuencia de números racionales 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... Cada término de esta secuencia es una aproximación a pi, obtenida truncando la expansión decimal para pi. Los términos de esta secuencia se acercan cada vez más a pi. Sin embargo, como hemos mencionado, pi no es un número racional. Necesitamos usar números irracionales para tapar los agujeros de la recta numérica que ocurren considerando solo los números racionales.

¿Cuántos números reales?

No debería sorprendernos que haya un número infinito de números reales. Esto se puede ver con bastante facilidad cuando consideramos que los números enteros forman un subconjunto de los números reales. También podríamos ver esto al darnos cuenta de que la recta numérica tiene un número infinito de puntos.

Lo sorprendente es que el infinito usado para contar los números reales es de un tipo diferente al infinito usado para contar los números enteros. Los números enteros, enteros y racionales son infinitamente contables. El conjunto de números reales es infinitamente infinito.

¿Por qué llamarlos reales?

Los números reales reciben su nombre para diferenciarlos de una generalización aún mayor del concepto de número. El número imaginario yo se define como la raíz cuadrada de la negativa. Cualquier número real multiplicado por yo También se conoce como un número imaginario. Los números imaginarios definitivamente amplían nuestra concepción del número, ya que no son en absoluto lo que pensamos cuando aprendimos a contar.